Kata Pengantar
Kalau kamu sudah pernah ikut olimpiade matematika, kamu pastinya tahu bahwa menemukan jawaban sering kali bukan soal melakukan perhitungan sebanyak mungkin. Tantangan sebenarnya adalah :
mengenali struktur tersembunyi di balik sebuah masalah dan menemukan sudut pandang yang membuat masalah tersebut menjadi lebih sederhana.
Salah satu teknik yang sangat kuat untuk tujuan tersebut adalah Invariance Principle (Prinsip Invarian).
Ide utamanya cukup sederhana:
ketika sebuah proses dilakukan berulang kali dan keadaan terus mengalami perubahan, cobalah mencari suatu sifat atau besaran yang tetap tidak berubah.
Pertanyaan seperti berikut sering menjadi awal dari solusi:
“Apa yang tetap sama setelah setiap langkah dilakukan?”
Pertanyaan sederhana tersebut akan membawa kita pada kesimpulan yang sulit diperoleh hanya dengan mencoba berbagai kemungkinan secara langsung.
Invariance Principle sangat berguna pada masalah yang melibatkan :
operasi berulang, permainan matematika, algoritma, transformasi, maupun perubahan suatu konfigurasi. Kita dapat menggunakannya untuk menentukan apakah suatu keadaan mungkin dicapai, mengetahui keadaan akhir yang mungkin terjadi, atau membuktikan bahwa suatu proses memiliki pola tertentu.
Sebagai contoh:
Bayangkan sebuah konfigurasi yang dapat diubah melalui aturan tertentu. Setiap langkah mungkin membuat tampilannya berbeda. Namun, bisa saja terdapat sesuatu yang tidak pernah berubah—misalnya paritas, jumlah tertentu, selisih, warna, atau sifat matematis lainnya.
Besaran atau sifat inilah yang disebut sebagai invarian.
Salah satu prinsip praktis yang penting untuk diingat adalah:
Jika sebuah proses berulang, perhatikan apa yang tidak berubah.
Namun, mengetahui definisinya saja belum cukup. Invariance Principle termasuk strategi heuristik, sehingga tidak selalu tersedia langkah yang sama untuk setiap soal.
Sangat perlu membangun intuisi melalui latihan:
mengamati perubahan dari satu langkah ke langkah berikutnya, membandingkan keadaan sebelum dan sesudah operasi, lalu mencari pola yang bertahan.
Di sini, kamu bisa mempelajari cara menemukan invarian melalui permasalahan Olimpiade Matematika yang sudah disusun oleh Tim Equalyra. Secara bertahap kamu akan mengenal apa dan bagaimana cara kerja strategi ini. Harapannya adalah, semoga kamu mampu melihat bagaimana sebuah invarian dapat digunakan bukan hanya untuk menemukan solusi, tetapi juga untuk membuktikan bahwa suatu keadaan mustahil dicapai.
Sebelum masuk ke soal-saolnya, hal terakhir yang perlu kamu ingat adalah setiap kali menghadapi soal dengan proses yang dilakukan berulang-ulang, jangan hanya bertanya:
“Apa yang berubah?”
Cobalah bertanya:
“Apa yang tidak berubah?”
Sering kali, jawaban dari pertanyaan kedua itulah yang menjadi kunci penyelesaian.
Saran Cara Belajar
Kerjakan setiap soal secara mandiri terlebih dahulu sebelum membuka solusi. Untuk soal Invariance Principle, jangan terburu-buru mencari perhitungan yang rumit. Cobalah mengamati bagaimana keadaan berubah dari satu langkah ke langkah berikutnya dan tanyakan pada diri sendiri: “Apa yang tetap tidak berubah?”
Alokasikan sekitar 10–15 menit untuk setiap soal. Jika belum menemukan ide, jangan langsung melihat solusi. Cobalah beberapa kemungkinan dan perhatikan pola yang muncul. Jika masih mengalami kesulitan, gunakan tombol Lihat Solusi untuk mempelajari bagaimana invarian ditemukan dan digunakan dalam penyelesaian.
Jangan hanya memperhatikan jawaban akhirnya. Perhatikan mengapa suatu besaran atau sifat dipilih sebagai invarian, bagaimana cara membuktikan bahwa invarian tersebut benar-benar tetap, dan bagaimana informasi tersebut membantu menentukan kemungkinan atau ketidakmungkinan suatu keadaan.
Setelah menyelesaikan seluruh soal, kembali ke soal-soal yang sebelumnya terasa sulit. Coba selesaikan kembali tanpa melihat solusi. Dengan cara ini, kamu akan mulai membangun intuisi untuk mengenali pola, perubahan, dan besaran yang tetap pada berbagai masalah Olimpiade Matematika.
Selamat belajar dan selamat berlatih menemukan sesuatu yang tetap di balik setiap perubahan!
Question 1
Perhatikan proses berikut.
Kita mulai dengan dua bilangan \[ (2, 12). \] Pada setiap langkah, bilangan pertama dikalikan 2 dan bilangan kedua dibagi 2.
Sehingga prosesnya menjadi: \[ (2,12) \rightarrow (4,6) \rightarrow (8,3) \rightarrow (16,\frac{3}{2}) \rightarrow \cdots \] Manakah pernyataan yang selalu benar selama proses tersebut?
Kita mulai dengan dua bilangan \[ (2, 12). \] Pada setiap langkah, bilangan pertama dikalikan 2 dan bilangan kedua dibagi 2.
Sehingga prosesnya menjadi: \[ (2,12) \rightarrow (4,6) \rightarrow (8,3) \rightarrow (16,\frac{3}{2}) \rightarrow \cdots \] Manakah pernyataan yang selalu benar selama proses tersebut?
Pilihan Jawaban
- A. Jumlah kedua bilangan selalu tetap.
- B. Selisih kedua bilangan selalu tetap.
- C. Hasil kali kedua bilangan selalu tetap.
- D. Kedua bilangan selalu merupakan bilangan bulat.
解 Lihat Solusi
Step 1 → Perhatikan beberapa langkah.
Pada awalnya, \[ 2\times12=24. \] Setelah satu langkah, \[ 4\times6=24. \] Setelah dua langkah, \[ 8\times3=24. \] Jadi, meskipun kedua bilangan berubah, hasil kalinya tetap sama.
Pada awalnya, \[ 2\times12=24. \] Setelah satu langkah, \[ 4\times6=24. \] Setelah dua langkah, \[ 8\times3=24. \] Jadi, meskipun kedua bilangan berubah, hasil kalinya tetap sama.
Step 2 → Cari pola yang tidak berubah.
Perhatikan: \[ 2\times12=4\times6=8\times3=24. \] Dengan demikian, hasil kali kedua bilangan selalu 24. Inilah contoh sederhana dari sebuah invarian: sesuatu yang tetap tidak berubah meskipun proses terus dilakukan.
Perhatikan: \[ 2\times12=4\times6=8\times3=24. \] Dengan demikian, hasil kali kedua bilangan selalu 24. Inilah contoh sederhana dari sebuah invarian: sesuatu yang tetap tidak berubah meskipun proses terus dilakukan.
Step 3 → Hubungkan dengan Invariance Principle.
Pada setiap langkah, bilangan pertama dikalikan 2, sedangkan bilangan kedua dibagi 2. Perubahan tersebut saling mengimbangi: \[ (2x)\left(\frac{y}{2}\right)=xy. \] Jadi, hasil kali x dan y tidak berubah.
Inilah ide dasar Invariance Principle:
Jika sebuah proses terus berubah, carilah sesuatu yang tetap tidak berubah.
Pada setiap langkah, bilangan pertama dikalikan 2, sedangkan bilangan kedua dibagi 2. Perubahan tersebut saling mengimbangi: \[ (2x)\left(\frac{y}{2}\right)=xy. \] Jadi, hasil kali x dan y tidak berubah.
Inilah ide dasar Invariance Principle:
Jika sebuah proses terus berubah, carilah sesuatu yang tetap tidak berubah.
Jawaban = C. Hasil kali kedua bilangan selalu tetap.
Invarian pada soal ini adalah \[ \boxed{xy=24}. \]
Invarian pada soal ini adalah \[ \boxed{xy=24}. \]
Question 2
Di atas meja terdapat 10 koin. Semua koin awalnya menunjukkan sisi angka.
Dalam satu langkah, kamu harus memilih tepat 2 koin dan membalik keduanya secara bersamaan.
Misalnya, jika dua koin menunjukkan:
Angka, Angka
setelah dibalik menjadi:
Gambar, Gambar.
Kamu boleh melakukan langkah tersebut sebanyak yang kamu inginkan.
Apakah mungkin membuat tepat 1 koin menunjukkan sisi Gambar?
Angka, Angka
setelah dibalik menjadi:
Gambar, Gambar.
Kamu boleh melakukan langkah tersebut sebanyak yang kamu inginkan.
Apakah mungkin membuat tepat 1 koin menunjukkan sisi Gambar?
Pilihan Jawaban
- A. Ya, karena kita dapat membalik koin berkali-kali.
- B. Ya, jika memilih koin yang tepat.
- C. Tidak mungkin.
- D. Tidak dapat ditentukan.
解 Lihat Solusi
Step 1 → Perhatikan bagaimana jumlah koin bergambar berubah.
Awalnya tidak ada koin yang menunjukkan sisi Gambar. Jadi, jumlah koin Gambar adalah \[ 0. \]
Awalnya tidak ada koin yang menunjukkan sisi Gambar. Jadi, jumlah koin Gambar adalah \[ 0. \]
Step 2 → Perhatikan satu langkah.
Dalam setiap langkah, kita selalu membalik tepat 2 koin. Ada tiga kemungkinan:
Jika kedua koin adalah Angka, maka jumlah Gambar bertambah 2.
Jika kedua koin adalah Gambar, maka jumlah Gambar berkurang 2.
Jika satu koin Angka dan satu koin Gambar, maka jumlah Gambar tetap.
Jadi, jumlah koin Gambar selalu berubah sebesar 0, +2, atau −2.
Dalam setiap langkah, kita selalu membalik tepat 2 koin. Ada tiga kemungkinan:
Jika kedua koin adalah Angka, maka jumlah Gambar bertambah 2.
Jika kedua koin adalah Gambar, maka jumlah Gambar berkurang 2.
Jika satu koin Angka dan satu koin Gambar, maka jumlah Gambar tetap.
Jadi, jumlah koin Gambar selalu berubah sebesar 0, +2, atau −2.
Step 3 → Cari sesuatu yang tidak berubah.
Perhatikan bahwa jumlah koin Gambar selalu merupakan bilangan genap. Awalnya: \[ 0 \] Kemudian jumlahnya dapat menjadi: \[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10 \] atau kembali turun, tetapi tidak pernah menjadi bilangan ganjil. Dengan kata lain, paritas jumlah koin Gambar tidak berubah.
Perhatikan bahwa jumlah koin Gambar selalu merupakan bilangan genap. Awalnya: \[ 0 \] Kemudian jumlahnya dapat menjadi: \[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10 \] atau kembali turun, tetapi tidak pernah menjadi bilangan ganjil. Dengan kata lain, paritas jumlah koin Gambar tidak berubah.
Step 4 → Periksa target.
Kita ingin mendapatkan tepat 1 koin Gambar. Namun, 1 adalah bilangan ganjil, sedangkan jumlah koin Gambar selalu genap. Jadi, keadaan tersebut tidak mungkin dicapai.
Kita ingin mendapatkan tepat 1 koin Gambar. Namun, 1 adalah bilangan ganjil, sedangkan jumlah koin Gambar selalu genap. Jadi, keadaan tersebut tidak mungkin dicapai.
Jawaban = C. Tidak mungkin.
Kunci penyelesaiannya adalah menemukan invarian: \[ \boxed{\text{Jumlah koin Gambar selalu genap.}} \] Meskipun keadaan koin berubah-ubah, sifat "jumlah koin Gambar adalah genap" tidak pernah berubah.
Inilah ide penting dari Invariance Principle:
Jika sebuah proses terus berubah, carilah sesuatu yang tetap tidak berubah.
Kunci penyelesaiannya adalah menemukan invarian: \[ \boxed{\text{Jumlah koin Gambar selalu genap.}} \] Meskipun keadaan koin berubah-ubah, sifat "jumlah koin Gambar adalah genap" tidak pernah berubah.
Inilah ide penting dari Invariance Principle:
Jika sebuah proses terus berubah, carilah sesuatu yang tetap tidak berubah.
Question 3
Perhatikan bilangan
\[
(3, 7).
\]
Dalam satu langkah, kita boleh memilih salah satu bilangan dan menambahkan 2 padanya.
Contohnya:
\[
(3,7)\rightarrow(5,7)\rightarrow(5,9)\rightarrow(7,9).
\]
Kita boleh melakukan langkah tersebut sebanyak yang diinginkan.
Apakah mungkin mendapatkan pasangan bilangan \[ (10,20)? \]
Apakah mungkin mendapatkan pasangan bilangan \[ (10,20)? \]
Pilihan Jawaban
- A. Ya, karena kedua bilangan dapat terus ditambah.
- B. Ya, jika urutan langkahnya dipilih dengan tepat.
- C. Tidak mungkin.
- D. Hanya mungkin dalam 5 langkah.
解 Lihat Solusi
Step 1 → Perhatikan angka yang mungkin muncul.
Kita mulai dari \[ (3,7). \] Jika kita menambahkan 2 pada bilangan pertama: \[ (3,7)\rightarrow(5,7). \] Jika kita menambahkan 2 lagi: \[ (5,7)\rightarrow(7,7). \] Jadi, bilangan pertama selalu berubah dengan penambahan 2. Hal yang sama berlaku untuk bilangan kedua.
Kita mulai dari \[ (3,7). \] Jika kita menambahkan 2 pada bilangan pertama: \[ (3,7)\rightarrow(5,7). \] Jika kita menambahkan 2 lagi: \[ (5,7)\rightarrow(7,7). \] Jadi, bilangan pertama selalu berubah dengan penambahan 2. Hal yang sama berlaku untuk bilangan kedua.
Step 2 → Cari sesuatu yang tidak berubah.
Bilangan pertama dimulai dari 3 dan selalu bertambah 2. Maka bilangan pertama selalu merupakan bilangan ganjil: \[ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ldots \] Bilangan kedua dimulai dari 7 dan juga selalu bertambah 2. Maka bilangan kedua juga selalu merupakan bilangan ganjil. Jadi, sifat berikut selalu tetap: \[ \boxed{\text{Kedua bilangan selalu ganjil.}} \] Inilah invarian dari proses tersebut.
Bilangan pertama dimulai dari 3 dan selalu bertambah 2. Maka bilangan pertama selalu merupakan bilangan ganjil: \[ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ldots \] Bilangan kedua dimulai dari 7 dan juga selalu bertambah 2. Maka bilangan kedua juga selalu merupakan bilangan ganjil. Jadi, sifat berikut selalu tetap: \[ \boxed{\text{Kedua bilangan selalu ganjil.}} \] Inilah invarian dari proses tersebut.
Step 3 → Periksa pasangan yang diminta.
Kita ingin mendapatkan \[ (10,20). \] Namun, 10 dan 20 adalah bilangan genap. Sedangkan kita telah membuktikan bahwa kedua bilangan selalu ganjil. Jadi, pasangan \[ (10,20) \] tidak mungkin diperoleh.
Kita ingin mendapatkan \[ (10,20). \] Namun, 10 dan 20 adalah bilangan genap. Sedangkan kita telah membuktikan bahwa kedua bilangan selalu ganjil. Jadi, pasangan \[ (10,20) \] tidak mungkin diperoleh.
Jawaban = C. Tidak mungkin.
Invarian pada soal ini adalah paritas. Kedua bilangan selalu ganjil karena setiap langkah hanya menambahkan 2.
\[ \boxed{\text{Ganjil + 2 = Ganjil}} \] Jadi, keadaan akhir $(10,20)$ tidak dapat dicapai.
Invarian pada soal ini adalah paritas. Kedua bilangan selalu ganjil karena setiap langkah hanya menambahkan 2.
\[ \boxed{\text{Ganjil + 2 = Ganjil}} \] Jadi, keadaan akhir $(10,20)$ tidak dapat dicapai.
Question 4
Diberikan tiga bilangan
\[
(1,2,3).
\]
Dalam satu langkah, kita boleh memilih dua bilangan dan menambahkan 1 pada keduanya.
Contohnya:
\[
(1,2,3)\rightarrow(2,3,3)
\]
karena 1 dan 2 dipilih, lalu keduanya ditambah 1.
Proses tersebut boleh dilakukan berulang kali. Apakah mungkin mendapatkan tiga bilangan yang semuanya genap?
Proses tersebut boleh dilakukan berulang kali. Apakah mungkin mendapatkan tiga bilangan yang semuanya genap?
Pilihan Jawaban
- A. Ya, karena bilangan dapat terus bertambah.
- B. Ya, jika memilih pasangan bilangan yang tepat.
- C. Tidak mungkin.
- D. Hanya mungkin setelah 3 langkah.
解 Lihat Solusi
Step 1 → Perhatikan jumlah ketiga bilangan.
Pada awalnya, \[ 1+2+3=6. \] Jadi, jumlah ketiga bilangan adalah bilangan genap.
Pada awalnya, \[ 1+2+3=6. \] Jadi, jumlah ketiga bilangan adalah bilangan genap.
Step 2 → Apa yang terjadi pada jumlah setiap langkah?
Dalam setiap langkah, kita memilih tepat 2 bilangan dan menambahkan 1 pada masing-masing bilangan. Jadi, jumlah ketiga bilangan selalu bertambah \[ 1+1=2. \] Dengan demikian, jika jumlah sebelum suatu langkah adalah S, maka setelah satu langkah menjadi \[ S+2. \] Artinya, paritas jumlah ketiga bilangan tidak pernah berubah.
Dalam setiap langkah, kita memilih tepat 2 bilangan dan menambahkan 1 pada masing-masing bilangan. Jadi, jumlah ketiga bilangan selalu bertambah \[ 1+1=2. \] Dengan demikian, jika jumlah sebelum suatu langkah adalah S, maka setelah satu langkah menjadi \[ S+2. \] Artinya, paritas jumlah ketiga bilangan tidak pernah berubah.
Step 3 → Tentukan invariant.
Jumlah awal adalah \[ 6, \] yang merupakan bilangan genap. Setiap langkah hanya menambahkan 2, sehingga jumlahnya selalu genap. Jadi, \[ \boxed{\text{Jumlah ketiga bilangan selalu genap.}} \] Inilah invariant yang kita gunakan.
Jumlah awal adalah \[ 6, \] yang merupakan bilangan genap. Setiap langkah hanya menambahkan 2, sehingga jumlahnya selalu genap. Jadi, \[ \boxed{\text{Jumlah ketiga bilangan selalu genap.}} \] Inilah invariant yang kita gunakan.
Step 4 → Periksa keadaan yang ingin dicapai.
Jika ketiga bilangan semuanya genap, maka jumlah ketiganya juga pasti genap. Jadi, dari sisi jumlah, keadaan tersebut tidak bertentangan dengan invariant. Namun, kita masih harus memeriksa apakah keadaan tersebut benar-benar dapat dicapai.
Perhatikan paritas ketiga bilangan. Awalnya: \[ (1,2,3) \] memiliki pola paritas: \[ (\text{ganjil},\text{genap},\text{ganjil}). \] Setiap langkah memilih dua bilangan dan mengubah paritas keduanya. Jadi, jumlah bilangan ganjil selalu berubah sebesar 2, 0, atau -2. Akibatnya, paritas jumlah bilangan ganjil tetap sama.
Jika ketiga bilangan semuanya genap, maka jumlah ketiganya juga pasti genap. Jadi, dari sisi jumlah, keadaan tersebut tidak bertentangan dengan invariant. Namun, kita masih harus memeriksa apakah keadaan tersebut benar-benar dapat dicapai.
Perhatikan paritas ketiga bilangan. Awalnya: \[ (1,2,3) \] memiliki pola paritas: \[ (\text{ganjil},\text{genap},\text{ganjil}). \] Setiap langkah memilih dua bilangan dan mengubah paritas keduanya. Jadi, jumlah bilangan ganjil selalu berubah sebesar 2, 0, atau -2. Akibatnya, paritas jumlah bilangan ganjil tetap sama.
Step 5 → Gunakan invariant untuk memperoleh kesimpulan.
Pada awalnya terdapat tepat 2 bilangan ganjil. Jadi, jumlah bilangan ganjil adalah genap. Dalam setiap langkah, paritas jumlah bilangan ganjil tidak berubah. Jika ketiga bilangan menjadi genap, jumlah bilangan ganjil menjadi \[ 0. \] Angka 0 juga genap, sehingga keadaan tersebut tidak dilarang oleh invariant. Bahkan, keadaan tersebut memang dapat dicapai. Contohnya: \[ (1,2,3) \rightarrow (2,3,3) \rightarrow (2,4,4) \rightarrow (4,5,4) \rightarrow (4,6,6). \] Pada akhirnya diperoleh \[ (4,6,6), \] yang semuanya genap.
Pada awalnya terdapat tepat 2 bilangan ganjil. Jadi, jumlah bilangan ganjil adalah genap. Dalam setiap langkah, paritas jumlah bilangan ganjil tidak berubah. Jika ketiga bilangan menjadi genap, jumlah bilangan ganjil menjadi \[ 0. \] Angka 0 juga genap, sehingga keadaan tersebut tidak dilarang oleh invariant. Bahkan, keadaan tersebut memang dapat dicapai. Contohnya: \[ (1,2,3) \rightarrow (2,3,3) \rightarrow (2,4,4) \rightarrow (4,5,4) \rightarrow (4,6,6). \] Pada akhirnya diperoleh \[ (4,6,6), \] yang semuanya genap.
Jawaban = A. Ya, jika memilih pasangan yang tepat.
Salah satu keadaan yang berhasil dicapai adalah \[ \boxed{(4,6,6)}. \] Soal ini menunjukkan hal penting dalam penggunaan Invariance Principle: menemukan invariant tidak selalu langsung membuktikan bahwa suatu keadaan mustahil. Kadang-kadang invariant membantu kita mempersempit kemungkinan, lalu kita perlu mencari konstruksi untuk menunjukkan bahwa keadaan tersebut benar-benar dapat dicapai.
Salah satu keadaan yang berhasil dicapai adalah \[ \boxed{(4,6,6)}. \] Soal ini menunjukkan hal penting dalam penggunaan Invariance Principle: menemukan invariant tidak selalu langsung membuktikan bahwa suatu keadaan mustahil. Kadang-kadang invariant membantu kita mempersempit kemungkinan, lalu kita perlu mencari konstruksi untuk menunjukkan bahwa keadaan tersebut benar-benar dapat dicapai.
Question 5
Diberikan titik awal S = (a, b) pada bidang dengan
0 < b < a. Selanjutnya, didefinisikan barisan
(xn, yn) dengan aturan
\[ x_0=a,\qquad y_0=b, \] \[ x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}, \qquad y_{n+1}=\frac{2x_ny_n}{x_n+y_n}. \]
Untuk n = 0, 1, 2, ..., tentukan nilai \[ \lim_{n\to\infty}x_n \] jika limit tersebut ada.Pilihan Jawaban
- A. a + b
- B. (a + b) / 2
- C. √(ab)
- D. ab
解 Lihat Solusi
Step 1 → Cari besaran yang tidak berubah (invarian).
Dari definisi barisan, \[ x_{n+1}y_{n+1} = \frac{x_n+y_n}{2} \cdot \frac{2x_ny_n}{x_n+y_n}. \] Sederhanakan: \[ x_{n+1}y_{n+1}=x_ny_n. \]
Dari definisi barisan, \[ x_{n+1}y_{n+1} = \frac{x_n+y_n}{2} \cdot \frac{2x_ny_n}{x_n+y_n}. \] Sederhanakan: \[ x_{n+1}y_{n+1}=x_ny_n. \]
Step 2 → Tentukan invarian.
Karena hasil kali kedua suku tidak berubah pada setiap langkah, kita memperoleh \[ x_{n+1}y_{n+1}=x_ny_n. \] Pada kondisi awal, \[ x_0y_0=ab. \] Dengan demikian, \[ \boxed{x_ny_n=ab} \] untuk setiap n. Inilah invarian dari proses tersebut.
Karena hasil kali kedua suku tidak berubah pada setiap langkah, kita memperoleh \[ x_{n+1}y_{n+1}=x_ny_n. \] Pada kondisi awal, \[ x_0y_0=ab. \] Dengan demikian, \[ \boxed{x_ny_n=ab} \] untuk setiap n. Inilah invarian dari proses tersebut.
Step 3 → Perhatikan hubungan antara kedua barisan.
Karena y0 < x0, kita akan menunjukkan bahwa hubungan tersebut tetap berlaku untuk setiap langkah. Jika yn < xn, maka \[ x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2} \] merupakan rata-rata aritmetika dari kedua bilangan tersebut. Sementara itu, \[ y_{n+1}=\frac{2x_ny_n}{x_n+y_n} \] merupakan rata-rata harmonik dari kedua bilangan tersebut. Untuk dua bilangan positif yang berbeda, rata-rata harmonik lebih kecil daripada rata-rata aritmetika. Oleh karena itu, \[ y_{n+1} < x_{n+1}. \] Jadi, \[ y_n < x_n \] tetap berlaku untuk setiap n.
Karena y0 < x0, kita akan menunjukkan bahwa hubungan tersebut tetap berlaku untuk setiap langkah. Jika yn < xn, maka \[ x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2} \] merupakan rata-rata aritmetika dari kedua bilangan tersebut. Sementara itu, \[ y_{n+1}=\frac{2x_ny_n}{x_n+y_n} \] merupakan rata-rata harmonik dari kedua bilangan tersebut. Untuk dua bilangan positif yang berbeda, rata-rata harmonik lebih kecil daripada rata-rata aritmetika. Oleh karena itu, \[ y_{n+1} < x_{n+1}. \] Jadi, \[ y_n < x_n \] tetap berlaku untuk setiap n.
Step 4 → Tunjukkan bahwa kedua barisan memiliki limit yang sama.
Selisih kedua suku dapat dihitung sebagai berikut: \[ x_{n+1}-y_{n+1} = \frac{x_n+y_n}{2} - \frac{2x_ny_n}{x_n+y_n}. \] Dengan menyamakan penyebut, \[ x_{n+1}-y_{n+1} = \frac{(x_n-y_n)^2}{2(x_n+y_n)}. \] Karena \[ 0 < x_n-y_n < x_n+y_n, \] maka \[ 0 < \frac{x_n-y_n}{x_n+y_n} < 1. \] Akibatnya, \[ 0 < x_{n+1}-y_{n+1} < \frac{x_n-y_n}{2}. \] Artinya, selisih antara kedua barisan semakin kecil pada setiap langkah. Secara khusus, \[ 0 < x_n-y_n < \frac{x_0-y_0}{2^n}. \] Karena \[ \frac{x_0-y_0}{2^n}\to0, \] maka \[ x_n-y_n\to0. \] Selanjutnya, dari \[ x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2} \] dan \[ y_n < x_n, \] diperoleh \[ y_n < x_{n+1} < x_n. \] Jadi, xn merupakan barisan menurun dan dibatasi dari bawah, sedangkan yn merupakan barisan menaik dan dibatasi dari atas. Keduanya memiliki limit. Karena selisih kedua barisan menuju 0, kedua limit tersebut harus sama. Misalkan limit tersebut adalah L. Maka, \[ \lim_{n\to\infty}x_n = \lim_{n\to\infty}y_n = L. \]
Selisih kedua suku dapat dihitung sebagai berikut: \[ x_{n+1}-y_{n+1} = \frac{x_n+y_n}{2} - \frac{2x_ny_n}{x_n+y_n}. \] Dengan menyamakan penyebut, \[ x_{n+1}-y_{n+1} = \frac{(x_n-y_n)^2}{2(x_n+y_n)}. \] Karena \[ 0 < x_n-y_n < x_n+y_n, \] maka \[ 0 < \frac{x_n-y_n}{x_n+y_n} < 1. \] Akibatnya, \[ 0 < x_{n+1}-y_{n+1} < \frac{x_n-y_n}{2}. \] Artinya, selisih antara kedua barisan semakin kecil pada setiap langkah. Secara khusus, \[ 0 < x_n-y_n < \frac{x_0-y_0}{2^n}. \] Karena \[ \frac{x_0-y_0}{2^n}\to0, \] maka \[ x_n-y_n\to0. \] Selanjutnya, dari \[ x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2} \] dan \[ y_n < x_n, \] diperoleh \[ y_n < x_{n+1} < x_n. \] Jadi, xn merupakan barisan menurun dan dibatasi dari bawah, sedangkan yn merupakan barisan menaik dan dibatasi dari atas. Keduanya memiliki limit. Karena selisih kedua barisan menuju 0, kedua limit tersebut harus sama. Misalkan limit tersebut adalah L. Maka, \[ \lim_{n\to\infty}x_n = \lim_{n\to\infty}y_n = L. \]
Step 5 → Gunakan invarian untuk menentukan limit.
Dari Step 2, kita telah memperoleh invarian \[ x_ny_n=ab. \] Ambil limit pada kedua sisi: \[ \lim_{n\to\infty}(x_ny_n)=ab. \] Karena kedua barisan memiliki limit yang sama, diperoleh \[ L\cdot L=ab. \] Jadi, \[ L^2=ab. \] Karena semua suku bernilai positif, maka L juga positif. Oleh karena itu, \[ L=\sqrt{ab}. \]
Dari Step 2, kita telah memperoleh invarian \[ x_ny_n=ab. \] Ambil limit pada kedua sisi: \[ \lim_{n\to\infty}(x_ny_n)=ab. \] Karena kedua barisan memiliki limit yang sama, diperoleh \[ L\cdot L=ab. \] Jadi, \[ L^2=ab. \] Karena semua suku bernilai positif, maka L juga positif. Oleh karena itu, \[ L=\sqrt{ab}. \]
Jawaban = √(ab)
Invarian utama dalam masalah ini adalah \[ \boxed{x_ny_n=ab}. \] Invarian tersebut menunjukkan bahwa hasil kali kedua suku selalu tetap. Setelah ditunjukkan bahwa kedua barisan semakin mendekati satu sama lain, keduanya memiliki limit yang sama. Dengan demikian, \[ \boxed{\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\sqrt{ab}}. \]
Jawaban: C. √(ab)
Invarian utama dalam masalah ini adalah \[ \boxed{x_ny_n=ab}. \] Invarian tersebut menunjukkan bahwa hasil kali kedua suku selalu tetap. Setelah ditunjukkan bahwa kedua barisan semakin mendekati satu sama lain, keduanya memiliki limit yang sama. Dengan demikian, \[ \boxed{\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\sqrt{ab}}. \]
Jawaban: C. √(ab)