TRYOUT · OLIMPIADE

Tryout Olimpiade Matematika: Chapter 1 Divisibility (25 Soal)

25 soal latihan Olimpiade Matematika materi Chapter 1 Divisibility (Keterbagian, FPB/KPK, Algoritma Euclid, Teorema Bézout, dan Sifat Bilangan Bulat) berdasarkan buku Modern Olympiad Number Theory. Dilengkapi pilihan ganda, kunci jawaban, serta pembahasan rinci.

25 soal · Alokasi Waktu: 60 menit · Pilihan ganda & isian

Sisa waktu: 60:00

Data Peserta

Nama hanya digunakan untuk membuat e-certificate hasil tryout — tidak ada data yang disimpan di server. Setelah selesai, kamu bisa langsung membagikan sertifikat ke WhatsApp dari perangkatmu.

Nama lengkap

Soal

Soal 1. Jika n > 1 adalah suatu bilangan bulat positif, manakah dari pernyataan berikut yang BENAR mengenai hubungan keterbagian n | (2n² + 3n + 1)?

A n selalu membagi (2n² + 3n + 1) untuk semua n > 1 B n membagi (2n² + 3n + 1) hanya jika n adalah bilangan prima C Tidak ada bilangan bulat n > 1 yang memenuhi n | (2n² + 3n + 1) D n membagi (2n² + 3n + 1) hanya jika n genap E n membagi (2n² + 3n + 1) untuk semua n kelipatan 3

Soal 2. Diberikan dua bilangan bulat positif a dan b. Jika FPB(a, b) = 12 dan KPK(a, b) = 420, serta nilai a = 60, berapakah nilai b?

A 72 B 84 C 96 D 108 E 120

Soal 3. Menurut Lemma Pembagian Euclid (Euclid's Division Lemma), untuk setiap pasangan bilangan bulat a dan b dengan a > 0, terdapat dengan tunggal pasangan bilangan bulat q (hasil bagi) dan r (sisa) sedemikian sehingga b = aq + r. Manakah batasan yang tepat untuk sisa r?

A 0 < r < a B 0 ≤ r < a C 0 ≤ r ≤ a D -a < r < a E 0 < r ≤ a

Soal 4. Diberikan dua bilangan bulat non-nol a dan b. Persamaan Diophantine linier ax + by = n memiliki solusi pasangan bilangan bulat (x, y) jika dan hanya jika...

A n adalah bilangan prima B n habis dibagi oleh FPB(a, b) C n habis dibagi oleh KPK(a, b) D a dan b saling prima E n lebih besar dari a + b

Soal 5. Pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan Bézout 35x + 42y = 7 adalah...

A x = 5, y = -4 B x = 4, y = -3 C x = 3, y = -2 D x = 2, y = -1 E x = 6, y = -5

Soal 6. Berdasarkan IMO 1959 Problem 1, untuk setiap bilangan asli n, pecahan (21n + 4) / (14n + 3) tidak dapat disederhanakan (irreducible) karena...

A 21n + 4 selalu merupakan bilangan prima B 14n + 3 selalu merupakan bilangan prima C FPB(21n + 4, 14n + 3) = 1 untuk semua n D KPK(21n + 4, 14n + 3) = (21n + 4)(14n + 3) E Selisih antara pembilang dan penyebut selalu genap

Soal 7. Diketahui 17 membagi (2x + 3y) untuk suatu bilangan bulat x dan y. Manakah dari bentuk berikut yang PASTI habis dibagi oleh 17?

A 5x + 2y B 9x + 5y C 3x + 4y D 7x + 2y E 11x + 3y

Soal 8. Jika faktorisasi prima dari suatu bilangan bulat positif N adalah N = 2³ × 3² × 5¹, berapakah banyaknya pembagi positif d(N) dari N?

A 12 B 18 C 24 D 30 E 36

Soal 9. Jika p adalah bilangan prima dan k adalah bilangan bulat dengan 0 < k < p, maka koefisien binomial C(p, k) = p! / (k!(p - k)!) selalu...

A Habis dibagi oleh p B Sama dengan p² C Bernilai ganjil D Bernilai genap E Koprima dengan p

Soal 10. Dengan menggunakan Algoritma Pembagian Euclid, berapakah nilai FPB(440, 124)?

A 2 B 4 C 6 D 8 E 12

Soal 11. Berapakah penyajian bilangan desimal 52 dalam basis 3 (base-3 system)?

A 1211(3) B 1221(3) C 2112(3) D 1122(3) E 2211(3)

Soal 12. Untuk setiap bilangan bulat positif n dan dua bilangan bulat x dan y, bentuk (x - y) PASTI selalu membagi...

A x^n + y^n untuk n genap saja B x^n - y^n untuk semua n bilangan bulat positif C x^n + y^n untuk semua n bilangan bulat positif D x^(n+1) + y^(n+1) E x^n - y^(n+1)

Soal 13. Pada soal Putnam 2000 (Example 1.8.3), Teorema Bézout menyatakan FPB(m, n) = mx + ny untuk suatu x, y ∈ ℤ. Ekspresi [ FPB(m, n) / n ] × C(n, m) dapat diubah menjadi...

A x × C(n-1, m-1) + y × C(n, m) B x × C(n, m-1) + y × C(n-1, m) C x × C(n+1, m) + y × C(n, m+1) D x × C(n-1, m) + y × C(n, m-1) E x × C(n, m) + y × C(n-1, m-1)

Soal 14. Jika p < q adalah dua bilangan prima ganjil yang berurutan (consecutive odd primes), maka jumlah (p + q) PASTI memiliki...

A Tepat 2 faktor prima B Sekurang-kurangnya 3 faktor prima (tidak harus berbeda) C Tepat 1 faktor prima D Hanya faktor prima ganjil E Faktor prima ganjil terbanyak 2

Soal 15. Diberikan a, b ∈ ℤ⁺. Jika a membagi (2a + b), manakah pernyataan berikut yang bernilai PASTI BENAR?

A a membagi b dan a ≤ b B a = 2b C b membagi a D a + b adalah bilangan prima E a dan b saling prima

Soal 16. Untuk bilangan bulat positif a > 1 serta m dan n bilangan bulat positif, nilai dari FPB(a^m - 1, a^n - 1) sama dengan...

A a^(m+n) - 1 B a^(m-n) - 1 C a^(FPB(m, n)) - 1 D a^(KPK(m, n)) - 1 E a^(mn) - 1

Soal 17. Diberikan empat bilangan bulat positif a, b, c, d yang memenuhi ab = cd. Berdasarkan Lemma Empat Bilangan (Four Number Lemma), jumlah (a + b + c + d) PASTI...

A Merupakan bilangan prima B Merupakan bilangan komposit (bukan prima) C Selalu bernilai genap D Selalu bernilai ganjil E Selalu merupakan kuadrat sempurna

Soal 18. Pada pembuktian bahwa √p adalah irasional untuk setiap bilangan prima p (Example 1.10.1), pengandaian √p = m/n dengan FPB(m, n) = 1 akhirnya menghasilkan p | m dan p | n. Kontradiksi ini menggugurkan pengandaian bahwa...

A p adalah bilangan prima B m dan n adalah bilangan real C FPB(m, n) = 1 D m² bernilai positif E n > 0

Soal 19. Pada Olimpiade Matematika Rusia 1995 (Example 1.11.1), diberikan bilangan bulat positif m dan n yang memenuhi FPB(m, n) + KPK(m, n) = m + n. Hubungan yang BENAR antara m dan n adalah...

A m + n harus prima B Salah satu bilangan membagi bilangan yang lain (m | n atau n | m) C m dan n harus saling prima D m = n + 1 E m × n selalu kuadrat sempurna

Soal 20. Diberikan n, p > 1 adalah bilangan bulat positif dengan p prima. Jika n membagi (p - 1) dan p membagi (n³ - 1), maka bentuk 4p - 3 PASTI...

A Merupakan kuadrat sempurna B Habis dibagi oleh 5 C Bernilai negatif D Selalu merupakan bilangan prima E Koprima dengan 4

Soal 21. Bilangan Fermat ke-n didefinisikan sebagai Fₙ = 2^(2ⁿ) + 1. Untuk dua bilangan asli m ≠ n, nilai dari FPB(Fₘ, Fₙ) adalah...

A 1 B 2 C 2ⁿ + 1 D Fₘ E 2^(2ᵐ) - 1

Soal 22. Diberikan dua bilangan bulat positif x dan y. Jika FPB(x, y) = 6 dan KPK(x, y) = 180, berapakah nilai dari hasil kali x × y?

A 540 B 720 C 900 D 1080 E 1260

Soal 23. Dalam representasi multiset faktor prima (Section 1.5), bilangan a disajikan sebagai multiset A = {2, 2, 3, 5} dan bilangan b disajikan sebagai B = {2, 2, 2, 3, 5, 7}. Keterbagian a | b bernilai BENAR karena...

A A = B B A ⊂ B (A merupakan himpunan bagian dari B) C B ⊂ A D Jumlah elemen A lebih besar dari B E FPB(A, B) = ∅

Soal 24. Hasil kali dari k bilangan bulat berurutan, yaitu n(n + 1)(n + 2)...(n + k - 1), PASTI selalu habis dibagi oleh...

A k² B k! C k^(k) D 2^k E k! + 1

Soal 25. Pada Example 1.11.4 (APMO), dicari tiga bilangan prima berbeda a, b, c yang memenuhi a | (bc + b + c), b | (ca + c + a), dan c | (ab + a + b). Banyaknya bertiga prima berbeda (a, b, c) yang memenuhi adalah...

A 0 (tidak ada) B 1 C 2 D 3 E Tak hingga banyaknya