|
← UTBK
UTBK Penalaran-Matematika

TKA Matematika Wajib --Versi 4

Soal dan Pembahasan TKA MATEMATIKA WAJIB

Soal · Dasar ·

Question 1

Seorang ayah hendak membagi uang sebesar Rp35.000.000,00 kepada 5 orang anaknya. Uang yang diterima anak-anaknya membentuk barisan aritmatika dengan ketentuan anak pertama menerima paling banyak. Jika jumlah uang anak ke-3, ke-4, dan ke-5 adalah Rp15.000.000,00, maka besarnya uang anak ke-4 adalah ....

Pilihan jawaban:

  • A. Rp7.000.000,00
  • B. Rp6.000.000,00
  • C. Rp5.000.000,00
  • D. Rp4.000.000,00
  • E. Rp3.000.000,00
✅ Solusi
Karena \(U_3, U_4, U_5\) merupakan tiga suku berurutan barisan aritmatika, maka suku tengah adalah rata-ratanya: \[ U_4=\frac{U_3+U_4+U_5}{3} \] \[ U_4=\frac{15.000.000}{3} =5.000.000 \] Jadi, uang yang diterima anak ke-4 adalah: \[ \boxed{\text{Rp5.000.000,00}} \] Jawaban: C

Question 2

Dari suatu deret geometri diketahui \(S_2=4\) dan \(S_4=40\), maka \(S_6=\) ....

Pilihan jawaban:

  • A. 356
  • B. 358
  • C. 360
  • D. 364
  • E. 385
✅ Solusi
Diketahui: \[ S_2=4,\qquad S_4=40 \] Gunakan rumus jumlah deret geometri: \[ S_n=a\frac{r^n-1}{r-1} \] Untuk \(S_2\): \[ a\frac{r^2-1}{r-1}=4 \] \[ a(r+1)=4 \] Untuk \(S_4\): \[ a\frac{r^4-1}{r-1}=40 \] \[ a(r+1)(r^2+1)=40 \] Karena \(a(r+1)=4\), maka: \[ 4(r^2+1)=40 \] \[ r^2=9 \] \[ r=3 \] Maka: \[ a(1+3)=4 \] \[ a=1 \] Selanjutnya: \[ S_6=1\frac{3^6-1}{3-1} \] \[ S_6=\frac{729-1}{2} =\boxed{364} \] Jawaban: D. 364

Question 3

Sebuah bola pimpong dilempar vertikal ke atas sampai mencapai ketinggian 40 m di atas lantai dan memantul kembali dengan ketinggian \(\frac34\) kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus-menerus dan sebelum berhenti bola bergulir sejauh 10 m. Jumlah seluruh lintasan bola sampai berhenti adalah ....

Pilihan jawaban:

  • A. 320 m
  • B. 330 m
  • C. 340 m
  • D. 350 m
  • E. 360 m
✅ Solusi
Lintasan pertama: \[ 40+40=80 \] Tinggi pantulan membentuk deret geometri: \[ 30->\ 22,5->\ 16,875->\ldots \] dengan: \[ a=30,\qquad r=\frac34 \] Jumlah tinggi pantulan: \[ S_\infty=\frac{30}{1-\frac34}=120 \] Setiap pantulan dilalui dua kali (naik dan turun), sehingga: \[ 80+2(120)+10 \] \[ =80+240+10 \] \[ =\boxed{330\text{ m}} \] Jawaban: B. 330 m

Question 4

Jika \(a\) adalah suku pertama, \(r\) adalah rasio, dan \[ S_n=4(2^{n+1}-2) \] adalah jumlah \(n\) suku pertama deret geometri, maka nilai \(a+4r\) adalah ....

Pilihan jawaban:

  • A. 5
  • B. 6
  • C. 7
  • D. 8
  • E. 16
✅ Solusi
Untuk \(n=1\): \[ a=S_1=4(2^2-2)=8 \] Untuk \(n=2\): \[ S_2=4(2^3-2)=24 \] Karena: \[ S_2=a+ar \] maka: \[ 24=8+8r \] \[ r=2 \] Jadi: \[ a+4r=8+4(2) \] \[ =\boxed{16} \] Jawaban: E. 16

Question 5

Diketahui jumlah suku kedua dan suku keempat suatu barisan geometri adalah 164, sedangkan jumlah suku pertama dan suku ketiga barisan tersebut adalah 205. Jumlah suku kedua dan suku ketiga barisan tersebut adalah ....

Pilihan jawaban:

  • A. 144
  • B. 164
  • C. 180
  • D. 189
  • E. 225
✅ Solusi
Misalkan barisan geometri: \[ a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3 \] Diketahui: \[ ar+ar^3=164 \] \[ a+ar^2=205 \] Maka: \[ \frac{ar(1+r^2)}{a(1+r^2)} =\frac{164}{205} \] \[ r=\frac45 \] Dari: \[ a(1+r^2)=205 \] \[ a\left(1+\frac{16}{25}\right)=205 \] \[ a=125 \] Maka: \[ ar+ar^2 =125\left(\frac45\right) +125\left(\frac45\right)^2 \] \[ =100+80 =\boxed{180} \] Jawaban: C. 180

Question 6

Sebuah bak di kamar mandi berisi 10 liter air. Setiap 40 menit, Walid memindahkan sebanyak 10% dari sisa air di dalam bak dengan menggunakan kran air. Jika Walid melakukan hal yang sama dalam waktu 3 jam, sisa akhir air di bak sebanyak ... ml.

Pilihan jawaban:

  • A. 8100
  • B. 7290
  • C. 6561
  • D. 5904,9
  • E. 5314,41
✅ Solusi
Setiap 40 menit, air yang tersisa adalah \(90\%\) dari sebelumnya. Dalam 3 jam: \[ 3\text{ jam}=180\text{ menit} \] \[ \frac{180}{40}=4,5 \] Artinya, tindakan dilakukan sebanyak **4 kali** dalam 3 jam. Maka: \[ 10(0,9)^4 \] \[ =10(0,6561) =6,561\text{ liter} \] Ubah ke mililiter: \[ 6,561\times1000 =\boxed{6561\text{ ml}} \] Jawaban: C. 6561

Question 7

Diketahui \(x,y,z\) adalah barisan aritmetika dengan beda \(b\) dan \[ x+y+z=12 \] Jika \(xyz=28\), maka nilai \(b\) terkecil adalah ....

Pilihan jawaban:

  • A. (-7)
  • B. (-4)
  • C. (-3)
  • D. (2)
  • E. (4)
✅ Solusi
Karena \(x,y,z\) membentuk barisan aritmetika, maka: \[ x=4-b,\qquad y=4,\qquad z=4+b \] sebab: \[ x+y+z=12 \] Diketahui: \[ xyz=28 \] maka: \[ (4-b)(4)(4+b)=28 \] \[ 4(16-b^2)=28 \] \[ 16-b^2=7 \] \[ b^2=9 \] \[ b=\pm3 \] Nilai \(b\) terkecil adalah: \[ \boxed{-3} \] Jawaban: C. \(-3\)

Question 8

Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah \(4\), suku pertamanya \(\frac{4}{3}\). Jumlah semua suku yang bernomor genap dari deret tersebut adalah ....

Pilihan jawaban:

A. \(\frac{5}{8}\)

B. \(\frac{8}{5}\)

C. \(\frac{13}{12}\)

D. \(4\)

E. \(7\)

✅ Solusi
Diketahui: \[ S_\infty=4,\qquad a=\frac43 \] Dari: \[ S_\infty=\frac{a}{1-r} \] diperoleh: \[ 4=\frac{\frac43}{1-r} \] \[ r=\frac23 \] Suku bernomor genap: \[ ar+ar^3+ar^5+\cdots \] Merupakan deret geometri dengan suku pertama \(ar\) dan rasio \(r^2\). \[ S_{\text{genap}} =\frac{ar}{1-r^2} \] \[ =\frac{\frac43\cdot\frac23} {1-\frac49} \] \[ =\frac{\frac89}{\frac59} =\boxed{\frac85} \] Jawaban: B. \(\frac85\)

Question 9

Suku tengah suatu barisan aritmatika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyak suku barisan itu adalah ....

Pilihan jawaban:

  • A. 7
  • B. 9
  • C. 11
  • D. 13
  • E. 15
✅ Solusi
Suku tengah merupakan rata-rata suku pertama dan terakhir: \[ 23=\frac{a+43}{2} \] \[ a=3 \] Diketahui suku ketiga: \[ a+2b=13 \] \[ 3+2b=13 \] \[ b=5 \] Suku terakhir adalah 43: \[ a+(n-1)b=43 \] \[ 3+5(n-1)=43 \] \[ n-1=8 \] \[ \boxed{n=9} \] Jawaban: B. 9

Question 10

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan beda 3. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut adalah ....

Pilihan jawaban:

A. 4

B. 2

C. \(\frac12\)

D. \(-\frac12\)

E. \(-2\)

✅ Solusi
Karena beda barisan aritmatika adalah 3, misalkan: \[ x-3,\quad x,\quad x+3 \] Suku kedua dikurangi 1: \[ x-3,\quad x-1,\quad x+3 \] Jumlahnya 14: \[ (x-3)+(x-1)+(x+3)=14 \] \[ 3x-1=14 \] \[ x=5 \] Maka barisan geometrinya: \[ 2,\quad4,\quad8 \] Rasionya: \[ r=\frac{4}{2}=\boxed{2} \] Jawaban: B. 2

Question 11

Sebuah kelompok tari akan melakukan pertunjukan tari di sebuah stadion olahraga. Tari tersebut menggunakan formasi lingkaran dengan enam lapis penari. Lapisan paling dalam terdiri dari 4 orang penari. Dua lapis selanjutnya terdapat 8 penari dan 14 penari.

tari_formasi

Para penari memakai kostum dengan tiga jenis warna. Penari di lapisan pertama sampai ketiga menggunakan kostum merah. Lapisan keempat dan kelima menggunakan kostum kuning, sedangkan lapisan keenam menggunakan kostum biru.

Berdasarkan informasi tersebut, jumlah penari pada lapisan kelima dan keenam adalah ....

Pilihan jawaban:

A. 22 orang dan 32 orang

B. 24 orang dan 36 orang

C. 32 orang dan 44 orang

D. 34 orang dan 46 orang

E. 36 orang dan 48 orang

✅ Solusi
Jumlah penari membentuk pola: \[ 4,\ 8,\ 14,\ \ldots \] Selisihnya: \[ +4,\ +6,\ +8,\ +10 \] Maka: \[ \begin{aligned} U_4&=14+8=22\\ U_5&=22+10=32\\ U_6&=32+12=44 \end{aligned} \] Jadi: \[ \boxed{U_5+U_6=32\text{ dan }44} \] Jawaban: C. 32 orang dan 44 orang

Question 12

Sebuah kelompok tari akan melakukan pertunjukan tari di sebuah stadion olahraga.
Tari yang akan dipertunjukan menggunakan formasi lingkaran dengan enam lapis penari.
Lapisan paling dalam terdiri dari 4 orang penari.

tari_formasi

Dua lapis selanjutnya terdapat 8 penari dan 14 penari.
Para penari tersebut memakai kostum dengan tiga jenis warna:
- Lapisan 1 sampai 3 → merah
- Lapisan 4 dan 5 → kuning
- Lapisan 6 → hijau

Soal: Jumlah seluruh penari yang membawa pertunjukan tari tersebut ada … orang

Pilihan jawaban:
A. 90
B. 120
C. 124
D. 144
E. 160

✅ Solusi No.12
Lapisan 1: 4 penari
Lapisan 2: 8 penari (4 + 4)
Lapisan 3: 14 penari (8 + 6)
Lapisan 4: 22 penari (14 + 8)
Lapisan 5: 32 penari (22 + 10)
Lapisan 6: 44 penari (32 + 12)
Total penari: 4 + 8 + 14 + 22 + 32 + 44 = 124 orang

Question 13

Sebuah kelompok tari akan melakukan pertunjukan tari di sebuah stadion olahraga. Tari tersebut menggunakan formasi lingkaran dengan enam lapis penari. Lapisan paling dalam terdiri dari 4 orang penari. Dua lapis selanjutnya terdapat 8 penari dan 14 penari.

tari_formasi

Para penari tersebut memakai kostum dengan tiga jenis warna. Penari di lapisan pertama sampai ketiga menggunakan kostum berwarna merah. Penari pada lapisan keempat dan kelima menggunakan kostum berwarna kuning. Penari yang berada di lapisan keenam menggunakan kostum berwarna hijau.

Pernyataan-pernyataan yang benar terkait keterangan di atas yaitu ....

  • Jumlah penari berkostum merah lebih banyak dari jumlah penari berkostum hijau.
  • Jumlah penari pada lapisan keempat adalah 22 orang.
  • Penari dengan kostum berwarna hijau paling sedikit jumlahnya.
  • Penari dengan kostum warna kuning berjumlah 54 orang.
✅ Solusi
Pola jumlah penari: \[ 4,\ 8,\ 14,\ldots \] Selisihnya: \[ +4,\ +6,\ +8,\ +10,\ +12 \] Maka: \[ U_4=14+8=22 \] \[ U_5=22+10=32 \] \[ U_6=32+12=44 \] Jumlah berdasarkan warna: Merah: \[ 4+8+14=26 \] Kuning: \[ 22+32=54 \] Hijau: \[ 44 \] Cek pernyataan:

- \(26>44\) → Salah

- \(U_4=22\) → Benar

- Hijau paling sedikit → Salah

- Kuning \(=54\) → Benar

Jadi, pernyataan yang benar adalah: \[ \boxed{\text{Pernyataan 2 dan 4}} \]

Question 14

Aturan main: Pemain mulai dari Start, mengambil bendera di kotak, lalu memasukkannya ke botol secara berurutan. Setelah memasukkan bendera, pemain kembali ke kotak untuk mengambil bendera berikutnya.

trek_lari Jarak tempuh yang dilalui peserta lomba adalah ....

Pilihan jawaban:

  • A. 164 meter
  • B. 880 meter
  • C. 920 meter
  • D. 1.000 meter
  • E. 1.840 meter
✅ Solusi

Jarak dari Start ke kotak adalah \(90\) m.

Selanjutnya, jarak kotak ke botol:

\[ 82,\ 74,\ 66,\ 58,\ 50,\ 42,\ 34,\ 26,\ 18,\ 10 \]

Botol 10 sampai botol 2 ditempuh pergi-pulang, sedangkan botol 1 adalah perjalanan terakhir.

\[ 90+2(82+74+66+58+50+42+34+26+18)+10 \] \[ =90+2(450)+10 \] \[ =\boxed{1000\text{ m}} \] Jawaban: D. 1.000 meter

Question 15

Falah menginvestasikan uangnya pada awal tahun 2025 sebesar Rp50.000.000 dengan bunga majemuk 8% per tahun. Sementara itu, Inaz mulai tahun 2025 menabung Rp1.000.000 pada bulan pertama, dan setiap bulan berikutnya bertambah Rp150.000.

Tentukan Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut.

  1. Pada akhir tahun 2026, jumlah tabungan Inaz lebih besar daripada tabungan Falah.
  2. Jika harga mobil pada akhir tahun 2028 adalah Rp200.000.000, Falah dan Inaz masing-masing dapat membeli mobil tersebut.
✅ Solusi

Pernyataan 1

Tabungan Inaz selama 2 tahun = 24 bulan Membentuk barisan aritmetika: \[ 1.000.000,\ 1.150.000,\ 1.300.000,\ldots \] \[ S_{24}=\frac{24}{2} \left(2(1.000.000)+23(150.000)\right) \] \[ S_{24}=65.400.000 \]

Tabungan Falah setelah 2 tahun:

\[ 50.000.000(1,08)^2=58.320.000 \] Karena: \[ 65.400.000>58.320.000 \]

maka Benar.

Pernyataan 2

Pada akhir 2028, Inaz telah menabung selama 48 bulan. \[ S_{48}=\frac{48}{2} \left(2.000.000+47(150.000)\right) \] \[ S_{48}=217.200.000 \] Jadi Inaz dapat membeli mobil Rp200.000.000.

Sedangkan uang Falah:

\[ 50.000.000(1,08)^4 =68.024.448 \] Falah tidak dapat membeli mobil tersebut. Jadi pernyataan bahwa keduanya dapat membeli mobil adalah Salah.

Kesimpulan

Pernyataan 1 = Benar

Pernyataan 2 = Salah