|
← UTBK
UTBK Pengetahuan-kuantitatif

Pengetahuan Kuantitatif --Versi 3

Soal dan Pembahasan Pengetahuan Kuantitatif

Soal · Dasar ·

Question 1

Barisan \(-1, a, -9, b,\ldots\) merupakan barisan geometri. Pernyataan mana saja yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

1. Nilai \(a \times b\) adalah 81.

2. Hasil bagi suku ke-6 dengan suku ke-2 barisan tersebut adalah 81.

3. Nilai tengah dari 10 suku pertama adalah \(-81\).

A. Pernyataan (1) SAJA yang benar.
B. Pernyataan (1) dan (2) SAJA yang benar.
C. Pernyataan (1) dan (3) SAJA yang benar.
D. Pernyataan (2) dan (3) SAJA yang benar.
E. Pernyataan (1), (2), dan (3) benar.
✅ Solusi
Tentukan \(a\) dan \(r\) \[ \frac{a}{-1}=\frac{-9}{a} \] \[ a^2=9 \] \[ a=\pm3,\qquad r=\pm3 \]
Pernyataan (1) \[ ab=81 \] ✅ Benar
Pernyataan (2) \[ \frac{U_6}{U_2}=r^4 \] \[ =3^4=81 \] ✅ Benar
Pernyataan (3) Untuk 10 suku, nilai tengah: \[ \frac{U_5+U_6}{2} \] \[ =\frac{-81-243}{2}=-162 \] Bukan \(-81\). ❌ Salah
Kesimpulan: Pernyataan (1) dan (2) SAJA yang benar. \[ \boxed{\text{Jawaban B}} \]

Question 2

Dua bilangan asli berurutan lebih kecil daripada 10. Jika jumlah kedua bilangan tersebut merupakan bilangan prima, maka hasil kalinya yang mungkin adalah ...
A. 72
B. 56
C. 42
D. 20
E. Semua pilihan benar
✅ Solusi
Cek pasangan bilangan berurutan: \[ 8\times9=72,\quad 7\times8=56 \] \[ 6\times7=42,\quad 4\times5=20 \] Jumlahnya: \[ 17,\ 15,\ 13,\ 9 \] Yang prima hanya: \[ 8+9=17,\qquad 6+7=13 \] Jadi hasil kali yang mungkin adalah **72 dan 42**.
\[ \boxed{\text{Jawaban tidak tersedia pada opsi}} \]

Question 3

Diketahui fungsi kuadrat \[ f(x)=x^2-ax+a+1 \] dengan \(f(m)=0\). Jika \(m,\ m+n,\ 2n+2\) membentuk barisan aritmatika, maka nilai \(a=\ldots\)
A. \(3\)
B. \(5\)
C. \(9\)
D. \(13\)
E. \(15\)
✅ Solusi
Karena membentuk barisan aritmatika: \[ m+n-m=2n+2-(m+n) \] \[ n=n+2-m \] \[ m=2 \] Karena \(f(m)=0\): \[ f(2)=0 \] \[ 4-2a+a+1=0 \] \[ 5-a=0 \] \[ a=5 \]
\[ \boxed{\text{Jawaban B}} \]

Question 4

Perhatikan barisan bilangan real: \[ 2,\ a,\ 5,\ b,\ldots \] Berapakah nilai \(a+b\)? Pernyataan: 1. Barisan tersebut adalah barisan Fibonacci. 2. \(a+b=11\).
A. Pernyataan (1) saja cukup.
B. Pernyataan (2) saja cukup.
C. Keduanya cukup, tetapi salah satu saja tidak cukup.
D. Masing-masing pernyataan saja sudah cukup.
E. Keduanya tidak cukup.
✅ Solusi
Pernyataan (1) Barisan Fibonacci: \[ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ldots \] Jadi: \[ a=3,\qquad b=8 \] \[ a+b=11 \] ✅ Cukup
Pernyataan (2) Sudah diberikan: \[ a+b=11 \] ✅ Cukup
Kesimpulan Masing-masing pernyataan sudah cukup. \[ \boxed{\text{Jawaban D}} \]

Question 5

Jika \(x=\frac14\) adalah penyelesaian dari \[ {}^p\log x^2+{}^p\log(4x+1)=b \] maka \(p^b=\ldots\)
A. \(\frac18\)
B. \(\frac14\)
C. \(\frac12\)
D. \(4\)
E. \(8\)
✅ Solusi
Substitusi \(x=\frac14\): \[ x^2=\frac1{16},\qquad 4x+1=2 \] Maka: \[ b={}^p\log\frac1{16}+{}^p\log2 \] \[ b={}^p\log\frac18 \] Sehingga: \[ p^b=\frac18 \]
\[ \boxed{\text{Jawaban A}} \]

Question 6

Diketahui: \[ f(x)+2f(8-x)=x \] Nilai \(f(7)\) adalah ....
A. \(-3\)
B. \(-2\)
C. \(-\frac{5}{3}\)
D. \(\frac12\)
E. \(\frac14\)
✅ Solusi
Langkah 1 Dari: \[ f(x)+2f(8-x)=x \] Ganti \(x\) dengan \(8-x\): \[ f(8-x)+2f(x)=8-x \]
Langkah 2 Dari kedua persamaan: \[ f(7)=-\frac53 \] ✅ Jawaban C
Kesimpulan: \[ \boxed{f(7)=-\frac53} \]

Question 7

Jika \(f(x)=5x-3\), \(g(x)=3x+b\), dan \(f^{-1}(g(0))=1\), maka nilai \(g(2)\) adalah....
A. \(5\)
B. \(6\)
C. \(8\)
D. \(11\)
E. \(12\)
✅ Solusi
Langkah 1 \[ f^{-1}(g(0))=1 \] maka: \[ g(0)=f(1) \] \[ b=5(1)-3=2 \]
Langkah 2 \[ g(2)=3(2)+2=8 \]
Kesimpulan: \[ \boxed{\text{Jawaban C}} \]

Question 8

Fungsi \(f\) didefinisikan sebagai \(f(x)=k+\sqrt{4x+4}\) dengan nilai \(f(3)=1\) dengan anggota domain bilangan real \(x\). Manakah dari tiga pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

1. \(k<-2\)

2. \(-2\) merupakan anggota daerah hasil \(f\)

3. Ada anggota daerah asal \(f\) yang kurang dari \(-1\)

A. Pernyataan (1) SAJA yang benar.
B. Pernyataan (1) dan (2) SAJA yang benar.
C. Pernyataan (1) dan (3) SAJA yang benar.
D. Pernyataan (3) SAJA yang benar.
E. Pernyataan (2) SAJA yang benar.
✅ Solusi
Tentukan \(k\) \[ f(3)=k+\sqrt{16}=1 \] \[ k+4=1 \] \[ k=-3 \]
Pernyataan (1) \[ -3<-2 \] ✅ Benar
Pernyataan (2) Daerah hasil: \[ f(x)\geq -3 \] Karena \(-2\geq-3\), maka \(-2\) termasuk daerah hasil. ✅ Benar
Pernyataan (3) Syarat akar: \[ 4x+4\geq0 \] \[ x\geq-1 \] Tidak ada anggota domain yang kurang dari \(-1\). ❌ Salah
Kesimpulan: Pernyataan (1) dan (2) SAJA yang benar. \[ \boxed{\text{Jawaban B}} \]

Question 9

Perhatikan gambar berikut! diagram_venn Hubungan antara himpunan \(K\), \(L\), dan \(M\) disajikan pada diagram Venn. Berapakah banyaknya dari empat pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

1. \(K \cap L \cap M=\varnothing\)

2. \(K\subseteq L\cup M\)

3. \(M\subseteq K\cup L\)

4. \(L\cup M\subseteq K^c\)

A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)
E. \(4\)
✅ Solusi
Pernyataan (1) \(K\) dan \(L\) tidak beririsan, sehingga: \[ K\cap L\cap M=\varnothing \] ✅ Benar
Pernyataan (2) Sebagian \(K\) berada di luar \(L\cup M\). ❌ Salah
Pernyataan (3) Sebagian \(M\) berada di luar \(K\cup L\). ❌ Salah
Pernyataan (4) \(M\) beririsan dengan \(K\), sehingga \(L\cup M\) tidak seluruhnya berada di \(K^c\). ❌ Salah
Kesimpulan: Hanya 1 pernyataan yang benar. \[ \boxed{\text{Jawaban B}} \]

Question 10

Diketahui matriks \(A=\begin{pmatrix}5&2\\3&3\end{pmatrix}\). Jika \(|A|\) menyatakan determinan \(A\), maka nilai \(p\) yang memenuhi \[ {}^3\log(p^2+2)=\frac{1}{3}|A| \]

adalah ....

A. 3
B. 5
C. -1 dan 1
D. -3 dan 3
E. -5 dan 5
✅ Solusi
Langkah 1 — Determinan \[ |A|=(5)(3)-(2)(3)=9 \] \[ \frac13|A|=3 \]
Langkah 2 — Cari \(p\) \[ {}^3\log(p^2+2)=3 \] \[ p^2+2=3^3=27 \] \[ p^2=25 \] \[ p=\pm5 \]
Kesimpulan: \[ \boxed{\text{Jawaban E}} \]

Question 11

Misalkan \(ABC\) adalah segitiga sama kaki dan siku-siku di titik \(C\), dengan \(AC=BC\). Koordinat \(A(2,3)\) dan \(C(0,2)\). Luas segitiga \(ABC\) adalah....
A. 4
B. 3,5
C. 3
D. 2,5
E. 2
✅ Solusi
Langkah 1 — Cari panjang \(AC\) Diketahui: \[ A(2,3),\qquad C(0,2) \] Gunakan rumus jarak dua titik: \[ AC=\sqrt{(2-0)^2+(3-2)^2} \] \[ AC=\sqrt{4+1} \] \[ AC=\sqrt{5} \]
Langkah 2 — Tentukan panjang \(BC\) Karena segitiga \(ABC\) adalah segitiga sama kaki siku-siku di titik \(C\), maka: \[ AC=BC \] Sehingga: \[ BC=\sqrt{5} \]
Langkah 3 — Hitung luas segitiga Karena siku-siku di \(C\), sisi \(AC\) dan \(BC\) merupakan alas dan tinggi. \[ L=\frac12(AC)(BC) \] \[ L=\frac12(\sqrt5)(\sqrt5) \] \[ L=\frac12(5) \] \[ L=2,5 \]
Kesimpulan: \[ \boxed{\text{Jawaban D. }2,5} \]

Question 12

Perhatikan segitiga \(FGH\) berikut! segitigaFGH Jika \[ \cos H=\frac{\sqrt6}{5} \] manakah dari keempat pernyataan berikut yang bernilai benar? \[ (1)\quad \sin^2F=\frac{6}{25} \] \[ (2)\quad \sin^2H=\frac{19}{25} \] \[ (3)\quad \cos^2F=\frac{19}{25} \] \[ (4)\quad \tan^2H=\frac{6}{19} \]
A. (1), (2), dan (3)
B. (1) dan (3)
C. (2) dan (4)
D. (4)
E. (1), (2), (3), dan (4)
✅ Solusi
Langkah 1 — Gunakan nilai \(\cos^2H\) Diketahui: \[ \cos H=\frac{\sqrt6}{5} \] Kuadratkan kedua ruas: \[ \cos^2H=\left(\frac{\sqrt6}{5}\right)^2 \] \[ \cos^2H=\frac{6}{25} \]
Langkah 2 — Cari \(\sin^2H\) Gunakan identitas: \[ \sin^2H+\cos^2H=1 \] \[ \sin^2H+\frac{6}{25}=1 \] \[ \sin^2H=1-\frac{6}{25} \] \[ \sin^2H=\frac{19}{25} \] Jadi, pernyataan (2) benar.
Langkah 3 — Gunakan hubungan sudut \(F\) dan \(H\) Karena segitiga siku-siku di \(G\), maka: \[ F+H=90^\circ \] Sehingga: \[ \sin F=\cos H \] Maka: \[ \sin^2F=\cos^2H=\frac{6}{25} \] Jadi, pernyataan (1) benar. Selain itu: \[ \cos F=\sin H \] Maka: \[ \cos^2F=\sin^2H=\frac{19}{25} \] Jadi, pernyataan (3) benar.
Langkah 4 — Periksa \(\tan^2H\) Gunakan: \[ \tan^2H=\frac{\sin^2H}{\cos^2H} \] \[ \tan^2H= \frac{\frac{19}{25}}{\frac{6}{25}} \] \[ \tan^2H=\frac{19}{6} \] Bukan: \[ \frac{6}{19} \] Jadi, pernyataan (4) salah.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah \((1)\), \((2)\), dan \((3)\). \[ \boxed{\text{Jawaban A}} \]

Question 13

Sebuah garis dengan persamaan \[ y=m(x-2)+1 \] melalui titik \((-1,-5)\). Berdasarkan informasi tersebut, manakah di antara pilihan berikut yang bernilai benar?

1. \(m=2\)

2. Titik potong garis tersebut dengan sumbu-\(x\) adalah \(\left(\frac32,0\right)\)

3. Titik potong garis tersebut dengan sumbu-\(y\) adalah \((0,-3)\)

4. Titik \((1,1)\) dilalui garis tersebut

A. 1, 2, dan 3 saja yang benar
B. 1 dan 3 saja yang benar
C. 2 dan 4 saja yang benar
D. Hanya 4 yang benar
E. Semua pilihan benar
✅ Solusi
Langkah 1 — Cari \(m\) \[ -5=m(-1-2)+1 \] \[ -5=-3m+1 \] \[ m=2 \] ✅ (1) Benar
Langkah 2 — Titik potong sumbu-\(x\) \[ y=2x-3 \] Saat \(y=0\): \[ 0=2x-3 \] \[ x=\frac32 \] ✅ (2) Benar
Langkah 3 — Titik potong sumbu-\(y\) Saat \(x=0\): \[ y=-3 \] Jadi titiknya \((0,-3)\). ✅ (3) Benar
Langkah 4 — Cek titik \((1,1)\) \[ y=2(1)-3=-1 \] Bukan \(1\). ❌ (4) Salah
Kesimpulan: Pernyataan (1), (2), dan (3) benar. \[ \boxed{\text{Jawaban A}} \]

Informasi Soal 14–15

△ABC sama kaki dengan AB = AC. Titik E terletak di tengah ruas garis AB. Titik D dan F terletak di ruas garis AC sehingga ED ⟂ AC, BF ⟂ AC, DE = 9, ∠BED = 120°. segitigaABC

Question 14

Panjang \(BF = \) ...
A. \(18\sqrt{3}\)
B. 18
C. \(9\sqrt{2}\)
D. 9
E. \(6\sqrt{3}\)
✅ Solusi (Trigonometri)
Langkah 1 — Gunakan segitiga BED Diketahui \(DE = 9\), \(\angle BED = 120^\circ\). Dengan aturan sinus: \[ \frac{DE}{\sin \angle EBD} = \frac{BE}{\sin \angle BED} \] Karena \(\angle BED = 120^\circ\), maka \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Hasilnya \(BE = 18\). Langkah 2 — Tentukan tinggi \(BF\) Karena \(AB = AC = 36\), maka segitiga sama kaki. Titik \(F\) adalah kaki tegak lurus dari \(B\) ke \(AC\). Dengan aturan sinus pada segitiga \(ABF\), diperoleh: \[ BF = AB \cdot \sin 30^\circ = 36 \cdot \tfrac{1}{2} = 18 \]
Kesimpulan: Jawaban benar adalah B. 18

Question 15

Luas \( \triangle AEC \) adalah ...
A. 162
B. \(81\sqrt{3}\)
C. \(81\sqrt{2}\)
D. 81
E. \(36\sqrt{3}\)
✅ Solusi
Langkah 1 — Gunakan alas dan tinggi Alas segitiga \(AEC\) adalah \(AC = 36\). Tinggi segitiga terhadap alas \(AC\) adalah \(ED = 9\). Langkah 2 — Hitung luas \[ L = \tfrac{1}{2} \cdot alas \cdot tinggi \] \[ L = \tfrac{1}{2} \cdot 36 \cdot 9 \] \[ L = 162 \]
Kesimpulan: Jawaban benar adalah A. 162

Question 16

Bilangan \(a, a+1, a+1, 7, b, b, 9\). Rata-rata = 7, simpangan rata-rata = \(\tfrac{8}{7}\). Hitung \(2a - b\).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
✅Solusi

Step 1: Mean

\[ \frac{4a + 2b + 18}{7} = 7 \;\;\Rightarrow\;\; 2a + b = 15.5 \]

Step 2: Mean deviation

\[ |a-7| + 2|a-6| + 2|b-7| + 2 = 8 \;\;\Rightarrow\;\; |a-7| + 2|a-6| + 2|b-7| = 6 \]

Step 3:Combine

Dari sistem persamaan, nilai unik yang bisa ditentukan adalah: \[ 2a - b = 3 \]
Answer: C. 3

Question 17

Lima bilangan bulat positif memiliki rata-rata 7. Berapakah median kelima bilangan tersebut? Putuskan apakah pernyataan (1) dan (2) cukup untuk menjawab pertanyaan tersebut.

1. Kuartil ke-3 dikurang kuartil ke-1 sama dengan 2.

2. Jangkauannya adalah 3 dan modusnya sama dengan 8.

A. Pernyataan 1 SAJA cukup, tetapi pernyataan 2 SAJA tidak cukup
B. Pernyataan 2 SAJA cukup, tetapi pernyataan 1 SAJA tidak cukup
C. Dua Pernyataan BERSAMA-SAMA cukup, tetapi SATU pernyataan saja tidak cukup
D. Pernyataan 1 SAJA cukup dan pernyataan 2 SAJA cukup
E. Pernyataan 1 dan pernyataan 2 tidak cukup
✅ Solusi

Langkah 1 — Analisis pernyataan (1)

Q3 – Q1 = 2 → memberi informasi sebaran, tetapi tidak cukup untuk menentukan median pasti.

Langkah 2 — Analisis pernyataan (2)

Range = 3 dan modus = 8 → memberi informasi tambahan, tetapi juga tidak cukup sendiri.

Langkah 3 — Gabungan

Jika digabung dengan rata-rata 7, maka median dapat ditentukan. Artinya kedua pernyataan bersama-sama cukup, tetapi satu pernyataan saja tidak cukup.
Kesimpulan: Jawaban benar adalah C

Question 18

Lima bilangan asli diurutkan: \[ 4, \; 4, \; a, \; 8, \; b \] Rata-rata = 8. Bilangan terbesar = 3 × median. Tabel perbandingan kuantitas:
P Q
Median 4
Pertanyaan: Hubungan antara P dan Q?
A. Kuantitas P lebih besar daripada Q
B. Kuantitas P lebih kecil daripada Q
C. Kuantitas P sama dengan Q
D. Tidak dapat ditentukan hubungan antara P dan Q
✅Solusi

Step 1: Mean

\[ \frac{4+4+a+8+b}{5} = 8 \;\;\Rightarrow\;\; a+b = 24 \]

Step 2: Median & Largest

Median = data ke-3 = \(a\). Largest = \(b\). Diketahui \(b = 3a\). **Step 3 — Solve** \[ a+3a = 24 \;\;\Rightarrow\;\; a = 6,\; b = 18 \] **Step 4 — Compare P and Q** P = Median = 6 Q = 4 \[ P > Q \]
Answer: A. Kuantitas P lebih besar daripada Q

Question 19

Sebuah kantong terdapat \(m\) bola putih dan \(n\) bola merah dengan \(mn = 54\). Jika diambil dua bola sekaligus dan peluang terambilnya kedua bola berbeda warna adalah \(\tfrac{18}{35}\), maka \(m+n = ...\)
A. 9
B. 15
C. 21
D. 29
E. 55
✅Solusi

Peluang berbeda warna:

\[ P = \frac{m \cdot n}{\binom{m+n}{2}} = \frac{18}{35} \] Substitusi \(mn = 54\): \[ \frac{108}{(m+n)(m+n-1)} = \frac{18}{35} \] \[ (m+n)(m+n-1) = 210 \] \[ m+n = 15 \]
Answer: B. 15

Question 20

Kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Diambil 3 bola sekaligus. Kejadian A: 2 merah + 1 putih. Bandingkan \(P(A)\) dengan \(\tfrac{1}{2}\).
P Q
P(A) 0.5
A. Kuantitas P lebih besar daripada Q
B. Kuantitas P lebih kecil daripada Q
C. Kuantitas P sama dengan Q
D. Tidak dapat ditentukan hubungan antara P dan Q
✅Solusi

Total cara:

\[ \binom{8}{3} = 56 \]

Favorable (2 merah + 1 putih):** \[ \binom{5}{2} \cdot \binom{3}{1} = 10 \cdot 3 = 30 \]

Peluang:

\[ P(A) = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \approx 0.536 \] Bandingkan dengan \(\tfrac{1}{2} = 0.5\): \[ P(A) > Q \]
Answer: A. Kuantitas P lebih besar daripada Q